الاعداد المركبه

اجب عن الأسئلة الآتية مع مراعاة كتابة خطوات الحل كاملة بوضوح

جدول المحتويات

• المقدمة
• السؤال الأول: الجذر التكعيبي للعدد المركب
• السؤال الثاني: حساب القوة العاشرة
• السؤال الثالث: قسمة الأعداد المركبة في الصيغة القطبية
• الخاتمة
• الأسئلة الشائعة
• المراجع

المقدمة

تُعد الأعداد المركبة والتحليل القطبي من المواضيع الأساسية في الرياضيات، وخاصة في مجالات الهندسة الكهربائية وتحليل الدوائر الكهربائية. في هذا المقال، سنجيب على مجموعة من الأسئلة المعقدة التي تتطلب فهمًا دقيقًا لنظرية دي موفر وخصائص الأعداد المركبة في الصيغة القطبية. سنستعرض خطوات الحل بشكل كامل وواضح لكل سؤال، مع مراعاة التركيز على الكلمة الرئيسية "اجب عن الأسئلة الآتية مع مراعاة كتابة خطوات الحل كاملة بوضوح" لضمان تحسين ظهور المقالة في محركات البحث.

تعتبر الأعداد المركبة من المفاهيم الأساسية في الرياضيات، حيث تلعب دورًا حيويًا في العديد من المجالات مثل الهندسة، الفيزياء، وتحليل الإشارات. الأعداد المركبة يمكن أن تُعبر عن أبعاد متعددة، مما يجعلها أداة قوية في حل المسائل الرياضية المعقدة. في هذا المقال، سنناقش ثلاث مسائل تتعلق بالأعداد المركبة، وسنتبع خطوات الحل بالتفصيل لضمان فهم شامل. سنبحث في الجذر التكعيبي، الجذور النسبية، ونسبة الأعداد المركبة في الصورة القطبية.

السؤال الأول: الجذر التكعيبي للعدد المركب z = 27cis(240°)

خطوات الحل

لحساب الجذر التكعيبي للعدد المركب z = 27cis(240°)، نتبع الخطوات التالية:

1. نكتب العدد المركب z بالشكل القطبي:
   • حيث r = 27 وθ = 240°.
2. نحسب الجذر التكعيبي للقيمة r:
   • r^(1/3) = 27^(1/3) = 3
3. لحساب الجذور التكعيبية الثلاثة، نستخدم الصيغة التالية:
   • z_k = r^(1/3) * (cos((θ + 360°k)/3) + i sin((θ + 360°k)/3))
   • حيث k = 0, 1, 2.
4. نحسب الجذور لكل قيمة من k:
   • لـ k = 0: z_0 = 3 (cos(80°) + i sin(80°))
   • لـ k = 1: z_1 = 3 (cos(200°) + i sin(200°))
   • لـ k = 2: z_2 = 3 (cos(320°) + i sin(320°))
5. وبالتالي، نحصل على الجذور الثلاثة: z_0، z_1، z_2.

السؤال الثاني: حساب (√5/3 (√3/2 + i/2))^10

خطوات الحل

لحساب القوة العاشرة للتعبير [√5/3 (√3/2 + i/2)]^10، نتبع الخطوات التالية:

1. نحوّل العدد المركب إلى الصيغة القطبية:
   • حيث r = √5/3 وθ = cos^(-1)(√3/2) = 30°.
2. نستخدم صيغة دي موفر لحساب القوة العاشرة:
   • (r cis θ)^10 = r^10 (cos(10θ) + i sin(10θ))
3. نحسب قيمة r^10:
   • (√5/3)^10 = (5/3)^5
4. نحسب الزاوية الجديدة:
   • 10 * 30° = 300°
5. الناتج النهائي:
   • (5/3)^5 * (cos(300°) + i sin(300°))

السؤال الأول: الجذر التكعيبي ل \( z = 27 \text{cis}(240^\circ) \) 1.1 خطوات الحل الخطوة 1: تحويل العدد المركب إلى الشكل القطبي العدد المعطى هو \( z = 27 \text{cis}(240^\circ) \)، حيث \( \text{cis}(\theta) = \cos(\theta) + i \sin(\theta) \). الخطوة 2: إيجاد الجذر التكعيبي نستخدم الصيغة العامة للجذر \( n \) للعدد المركب: \[ z^{1/n} = r^{1/n} \text{cis}\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \] حيث \( r = 27 \) و \( \theta = 240^\circ \) و \( n = 3 \). الخطوة 3: حساب الجذر 1. **حساب المقدار**: \[ r^{1/3} = 27^{1/3} = 3 \] 2. **حساب الزاوية**: \[ \frac{240^\circ + 360^\circ k}{3} \quad \text{لـ } k = 0, 1, 2 \] - عندما \( k = 0 \): \[ \frac{240^\circ}{3} = 80^\circ \] - عندما \( k = 1 \): \[ \frac{240^\circ + 360^\circ}{3} = 200^\circ \] - عندما \( k = 2 \): \[ \frac{240^\circ + 720^\circ}{3} = 320^\circ \] الخطوة 4: النتائج إذًا، الجذور التكعيبية هي: \[ z_1 = 3 \text{cis}(80^\circ), \quad z_2 = 3 \text{cis}(200^\circ), \quad z_3 = 3 \text{cis}(320^\circ) \] السؤال الثاني: إيجاد \( \left[ \sqrt[5]{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right) \right]^{10} \) 2.1 خطوات الحل الخطوة 1: تحويل العدد إلى الصورة القطبية نبدأ بالعدد المركب \( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \). 1. **حساب المقدار**: \[ r = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{1} = 1 \] 2. **حساب الزاوية**: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 30^\circ \] إذًا، يمكن كتابة العدد المركب بالصورة القطبية كالتالي: \[ \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} = 1 \text{cis}(30^\circ) \] الخطوة 2: حساب الجذر نحسب الجذر الخامس: \[ \sqrt[5]{3} = 3^{1/5} \] وبالتالي، العدد المركب يمكن كتابته كالتالي: \[ \sqrt[5]{3} \text{cis}(30^\circ) \] الخطوة 3: رفع العدد إلى القوة 10 نرفع العدد إلى القوة 10: \[ \left(3^{1/5} \text{cis}(30^\circ)\right)^{10} = (3^{1/5})^{10} \text{cis}(10 \cdot 30^\circ) \] \[ = 3^{2} \text{cis}(300^\circ) = 9 \text{cis}(300^\circ) \] السؤال الثالث: إيجاد \( \frac{z_1}{z_2} \) في الصورة القطبية 3.1 خطوات الحل الخطوة 1: كتابة الأعداد بالصورة القطبية لديك: - \( z_1 = 21 \text{cis}(135^\circ) \) - \( z_2 = 3 \text{cis}(75^\circ) \) الخطوة 2: حساب النسبة نستخدم خاصية النسب في الصورة القطبية: \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{21 \text{cis}(135^\circ)}{3 \text{cis}(75^\circ)} = \frac{21}{3} \text{cis}(135^\circ - 75^\circ) \] \[ = 7 \text{cis}(60^\circ) \]

السؤال الثالث: قسمة الأعداد المركبة في الصيغة القطبية

في هذا السؤال، سنحسب z_1 / z_2 حيث z_1 = 21cis(135°) وz_2 = 3cis(75°).

خطوات الحل

1. نكتب z_1 وz_2 في الصيغة القطبية:
   • z_1 = 21cis(135°)
   • z_2 = 3cis(75°)
2. نستخدم قانون قسمة الأعداد المركبة:
   • z_1 / z_2 = (r_1 / r_2) * cis(θ_1 - θ_2)
3. نحسب النسبة r_1 / r_2:
   • (21 / 3) = 7
4. نحسب الفرق بين الزاويتين:
   • 135° - 75° = 60°
5. الناتج النهائي:
   • z_1 / z_2 = 7cis(60°)

الخاتمة

في هذه المقالة، قمنا بحل مجموعة من المسائل المعقدة حول الأعداد المركبة باستخدام الصيغ القطبية ونظرية دي موفر. وضحنا كل خطوة من خطوات الحل بشكل تفصيلي لضمان الفهم الكامل. يعتبر هذا التحليل مهمًا في العديد من التطبيقات العملية في الهندسة والفيزياء.

من خلال دراسة هذه المسائل، يمكننا أن نرى كيف أن الأعداد المركبة، عند استخدامها في الصورة القطبية، تجعل العمليات الرياضية أكثر سهولة ووضوحًا. إن فهم كيفية حساب الجذور والقوى ونسب الأعداد المركبة هو أمر أساسي لأي شخص يعمل في مجالات الرياضيات أو الهندسة. إن هذه العمليات ليست فقط نظرية، بل لها تطبيقات عملية في العديد من المجالات، مما يجعلها مهمة جدًا في الدراسة.

الأسئلة الشائعة

• ما أهمية الصيغة القطبية للأعداد المركبة؟ توفر الصيغة القطبية طريقة أكثر سهولة لحساب القوى والجذور للأعداد المركبة.
• هل يمكن تطبيق نظرية دي موفر على الجذور؟ نعم، يمكن استخدامها لحساب الجذور بواسطة تحويلات الزاوية.
• ما هي المجالات التي تستخدم فيها هذه الحسابات؟ تستخدم في الفيزياء والهندسة الكهربائية والدوائر الكهربائية.

المراجع

• كتاب الرياضيات للمرحلة الثانوية، وزارة التعليم.
• الزركلي، خليل. علم الأعداد المركبة، الطبعة الثانية.
• الشافعي، أحمد. الهندسة الرياضية، منشورات دار الكتاب العربي.

الجبوري، أ. (2019). *نظرية الأعداد المركبة*. دار الكتب العلمية. 2

. الخطيب، م. (2020). *أساسيات الرياضيات التحليلية*. المكتبة الأكاديمية.

. الخطيب، م. (2020). *أساسيات الرياضيات التحليلية*. المكتبة الأكاديمية. 3. العلي، ر. (2021). *الرياضيات في العلوم الهندسية*. دار الفكر. 4

. النمري، س. (2018). *مقدمة في تحليل المركب*. دار الثقافة.