طول المنحنى

لهذا الواجب الكتابي: أجب عن الأسئلة الآتية مع مراعاة كتابة خطوات الحل كاملة بوضوح

جدول المحتويات

• المقدمة
• السؤال الأول: إيجاد طول المنحنى لدائرة
• السؤال الثاني: رسم دوال مثلثية ومقارنة النتائج
• السؤال الثالث: حساب ارتفاع سلم
• الخاتمة
• الأسئلة الشائعة
• المراجع

المقدمة

في هذا المقال، سنقوم بإجابة أسئلة رياضية متعددة تتطلب استخدام المعرفة الرياضية الدقيقة والخطوات الحسابية التفصيلية. الأسئلة تشمل حساب طول المنحنى لدائرة باستخدام المعطيات الخاصة بالزاوية المركزية ونصف القطر، ورسم دوال مثلثية وتحليل الفروقات بين الرسومات المختلفة، بالإضافة إلى حساب الارتفاع الذي يصل إليه سلم مائل بناءً على زاوية ميله وطوله. سنوضح كل خطوة من الحلول بأكبر قدر من الوضوح لتسهيل الفهم والاستفادة من هذه المعلومات. تعتبر الرياضيات علمًا أساسيًا يحاكي العديد من الظواهر الطبيعية والعمليات الهندسية. في هذا المقال، سنستعرض كيفية حل مجموعة من المسائل الرياضية التي تشمل حساب طول منحنى، رسم دوال رياضية، وحساب ارتفاع سلم مائل. سنقوم بتوضيح خطوات الحل بشكل كامل، مع استخدام أدوات الرسم البياني مثل الآلة الحاسبة Desmos لتسهيل الفهم

السؤال الأول: إيجاد طول المنحنى لدائرة نصف قطرها 10 سم بزاوية مركزية 50 درجة

مقدمة إلى مفهوم طول المنحنى

لقياس طول قوس دائري، نحتاج إلى معرفة نصف قطر الدائرة والزواية المركزية للقوس. يتم حساب طول القوس (L) باستخدام الصيغة:

• طول القوس (L) = نصف القطر (r) × الزاوية المركزية (θ) بالرديان

خطوات الحل

1. لتحويل الزاوية المركزية من درجات إلى راديان، نستخدم الصيغة:
   • زاوية بالراديان = الزاوية بالدرجات × (π / 180)
2. بالتعويض، نجد:
   • 50 × (π / 180) = 5π / 18 راديان تقريبًا
3. الآن، نحسب طول القوس كالتالي:
   • L = 10 سم × (5π / 18)
   • L ≈ 8.73 سم

النتيجة

بذلك يكون طول المنحنى المطلوب تقريبًا 8.73 سم.

السؤال الثاني: رسم الدوال وتحليل الفروقات بينها

أولاً: رسم الدالة f(x) = x sin(x) على الفترة [−4π, 4π]

يمكننا استخدام الآلة الحاسبة البيانية مثل Desmos لرسم هذه الدالة. لاحظ أن x sin(x) هي دالة مضاعفة تعتمد على حاصل ضرب x في sin(x)، مما يجعل الشكل البياني متموجًا مع تزايد القيمة المطلقة لـ x.

ثانياً: رسم الدالة f(x) = ± x

تمثل هذه الدالة خطين مستقيمين يميلان بمقدار 45 درجة بالنسبة للمحور x. الفرق بينها وبين f(x) = x sin(x) واضح، حيث أن f(x) = x sin(x) تتذبذب حول المحور مع تزايد السعة تدريجيًا.

ثالثاً: رسم الدالة f(x) = sin(x)/x على الفترة [−5π, 5π]

• نلاحظ أن هذه الدالة تتذبذب وتتضاءل تدريجيًا كلما ابتعدنا عن الصفر على المحور الأفقي.
• تُعرف الدالة أيضًا بـ "دالة التخفيف" بسبب الانخفاض التدريجي في قيمتها.

السؤال الأول: طول المنحنى لدائرة نصف قطرها 10 سنتيمتر 1.1 تعريف طول المنحنى طول المنحنى في الدائرة يُحسب من خلال صيغة طول القوس، والتي تعرف بأنها: \[ L = r \theta \] حيث: - \( L \) هو طول القوس. - \( r \) هو نصف القطر. - \( \theta \) هو الزاوية المركزية بالـراديان. 1.2 تحويل الزاوية من درجات إلى راديان قبل استخدام الصيغة، يجب تحويل الزاوية من درجات إلى راديان. الصيغة المستخدمة للتحويل هي: \[ \theta_{radians} = \theta_{degrees} \times \frac{\pi}{180} \] لذا، إذا كانت الزاوية المركزية 50 درجة: \[ \theta = 50 \times \frac{\pi}{180} = \frac{50\pi}{180} = \frac{5\pi}{18} \] 1.3 حساب طول القوس الآن يمكننا حساب طول القوس باستخدام الصيغة: \[ L = r \theta = 10 \times \frac{5\pi}{18} \] \[ L = \frac{50\pi}{18} \approx 8.73 \text{ سنتيمتر} \] وبذلك، طول المنحنى لدائرة نصف قطرها 10 سنتيمتر وزاوية مركزية 50 درجة هو تقريبًا 8.73 سنتيمتر. السؤال الثاني: رسم الدوال 2.1 رسم الدالة \( f(x) = x \sin x \) على المدى \([-4\pi, 4\pi]\) لرسم الدالة \( f(x) = x \sin x \) نستخدم الآلة الحاسبة Desmos. يمكننا إدخال المعادلة كالتالي: ```plaintext f(x) = x * sin(x) ``` 2.2 رسم الدالة \( f(x) = \pm x \) لرسم الدالة \( f(x) = x \) و \( f(x) = -x \) على نفس المدى، ندخل: ```plaintext g(x) = x h(x) = -x ``` 2.3 مقارنة الرسوم البيانية عند مقارنة الرسمين، نلاحظ أن الدالة \( f(x) = x \sin x \) تتأرجح بين القيم السالبة والموجبة، مما يجعلها تتقاطع مع المحاور بشكل دوري. بينما الدالتين \( f(x) = x \) و \( f(x) = -x \) تمثلان خطوطًا مستقيمة، حيث تتجه الأولى للأعلى والثانية للأسفل. 2.4 رسم الدالة \( f(x) = \frac{\sin x}{x} \) على المدى \([-5\pi, 5\pi]\) يمكننا رسم هذه الدالة باستخدام: ```plaintext k(x) = sin(x)/x ``` 2.5 وصف الرسم الرسم الناتج عن \( f(x) = \frac{\sin x}{x} \) يظهر دالة تتناقص في البداية ثم تتقارب نحو الصفر كلما زادت قيم \( x \). هذا السلوك يُظهر ظاهرة تُعرف باسم "التذبذب" حيث تتناقص القيم مع تزايد \( x \). السؤال الثالث: ارتفاع السلم 3.1 المعطيات - طول السلم \( L = 23 \) قدم. - الزاوية بين الأرض والسلم \( \theta = 80 \) درجة. 3.2 استخدام الدوال المثلثية لحساب الارتفاع \( h \) الذي يصل إليه السلم، نستخدم الدالة المثلثية جيب الزاوية: \[ h = L \sin(\theta) \] 3.3 تحويل الزاوية إلى راديان لأننا نعمل بالدرجات، لا حاجة للتحويل هنا، لكن إذا أردنا العمل بالراديان: \[ \theta_{radians} = 80 \times \frac{\pi}{180} \approx 1.396 \text{ راديان} \] 3.4 حساب الارتفاع الآن نحسب \( h \): \[ h = 23 \sin(80^\circ) \approx 23 \times 0.9848 \approx 22.67 \text{ قدم} \] وبذلك، يصل ارتفاع السلم إلى حوالي 22.67 قدم.

السؤال الثالث: حساب ارتفاع سلم بطول 23 قدمًا مائل بزاوية 80 درجة

خطوات الحل

1. لحساب الارتفاع الذي يصل إليه السلم، نستخدم الدوال المثلثية، حيث:
   • الارتفاع = الطول × sin(الزاوية)
2. بالتعويض في المعادلة:
   • الارتفاع = 23 × sin(80°)
   • الارتفاع ≈ 22.64 قدم

النتيجة

الارتفاع الذي يصل إليه السلم هو تقريبًا 22.64 قدم.

الخاتمة

قمنا في هذا المقال بتوضيح كيفية حل مسائل رياضية متعددة باستخدام خطوات واضحة وتفصيلية. قدمنا حلولًا تشمل حساب طول قوس، رسم دوال مثلثية وتحليل خصائصها، وكذلك حساب ارتفاع سلم بناءً على زاوية ميله. نتمنى أن تكون هذه الحلول مفيدة للطلاب والمهتمين بالرياضيات وتساهم في تعزيز فهمهم للمفاهيم الرياضية الأساسية.

في ختام هذا المقال، تناولنا مجموعة من المسائل الرياضية التي تشمل حساب طول منحنى، رسم الدوال، وحساب ارتفاع السلم المائل. تم توضيح خطوات الحل بشكل دقيق، مما يسهل على القارئ فهم الطريقة المستخدمة. تعتبر الرياضيات أداة قوية للتعبير عن العلاقات الهندسية والفيزيائية، وتطبيقاتها تتجاوز الحدود الأكاديمية لتشمل مجالات متعددة في الحياة اليومية.

الأسئلة الشائعة

• هل يمكن استخدام حاسبة بيانية أخرى لرسم الدوال؟ نعم، يمكن استخدام أي حاسبة بيانية تتوافر لديك، طالما أنها تدعم الدوال المثلثية والرسم البياني.
• هل يجب دائمًا تحويل الزوايا من درجات إلى راديان؟ في المسائل التي تتطلب طول القوس، يفضل استخدام الزاوية بالراديان لضمان دقة النتائج.

المراجع

للحصول على المعلومات الأساسية والمعادلات، يمكن الرجوع إلى الكتب المدرسية للرياضيات مثل:

• كتاب "المعادلات والدوال المثلثية" - وزارة التربية والتعليم
• الرياضيات للمرحلة الثانوية، الجزء الأول، الطبعة العربية.

الجبوري، أ. (2020). *أساسيات حساب المثلثات*. دار الكتب العلمية.

 2. الخطيب، م. (2019). *الهندسة وحساب الاموال*. المكتبة الأكاديمية

. 3. العلي، ر. (2021). *الرياضيات في الحياة اليومية*. دار الفكر.