الدوال

بالنظر للعلاقة: (x-3) + y² = 2 | هل تمثل هذه العلاقة دالة؟

جدول المحتويات

• مقدمة
• هل تمثل العلاقة دالة؟
• تحويل العلاقة إلى دالة
• y كدالة في x
• x كدالة في y
• شرح ماذا تمثل النقط (4,1), (2,1), (3,0), (1,0)
• تقاطع العلاقة مع محاور الإحداثيات
• الخاتمة
• الأسئلة الشائعة
• المراجع

مقدمة

في هذا المقال، سنقوم بتحليل العلاقة الرياضية التالية: (x - 3) + y² = 2. الهدف من التحليل هو الإجابة عن الأسئلة التالية:

• هل تمثل هذه العلاقة دالة؟
• إذا كانت لا تمثل دالة، كيف يمكن تحويلها إلى دالة؟
• شرح النطاق والمدى للدوال الناتجة.
• التعبير عن y كدالة في x، والتعبير عن x كدالة في y.
• تحليل النقاط المحددة: (4,1), (2,1), (3,0), (1,0) وعلاقتها بالعلاقة.
• تحديد تقاطع العلاقة مع محاور الإحداثيات.

تعتبر التوزيعات الاحتمالية من المفاهيم الأساسية في علم الإحصاء، حيث تُستخدم لوصف سلوك المتغيرات العشوائية وتحديد احتمالات وقوع الأحداث المختلفة. يمكن تقسيم التوزيعات الاحتمالية إلى نوعين رئيسيين: التوزيع الاحتمالي المتقطع والتوزيع الاحتمالي المتصل. في هذا المقال، سنستعرض الفروق بين هذين النوعين، وسنقدم أمثلة توضيحية، بالإضافة إلى استعراض أنواع التوزيعات الاحتمالية المختلفة مع شرح نوع واحد لكل توزيع متقطع ومنفصل واستخدامه في حياتنا اليومية. التوزيع الاحتمالي المتقطع تعريف التوزيع المتقطع التوزيع الاحتمالي المتقطع هو توزيع يُستخدم لوصف المتغيرات العشوائية التي تأخذ قيمًا منفصلة ومعدودة. بمعنى آخر، يمكن أن تأخذ هذه المتغيرات عددًا محدودًا من القيم، وغالبًا ما تكون هذه القيم أعدادًا صحيحة. يُستخدم هذا النوع من التوزيع في العديد من التطبيقات، مثل تحليل نتائج التجارب أو الأحداث التي يمكن عدها. مثال على التوزيع المتقطع لنفترض أننا نقوم برمي عملة معدنية. يمكن أن تكون النتائج المحتملة هي "وجه" أو "كتلة". إذا قمنا برمي العملة 10 مرات، فإن عدد المرات التي تظهر فيها "وجه" يمكن أن يكون 0، 1، 2، ...، حتى 10. هنا، يمكننا استخدام توزيع احتمالي متقطع لوصف عدد المرات التي يظهر فيها "وجه" العملة. التوزيع الاحتمالي المتصل تعريف التوزيع المتصل على الجانب الآخر، يُستخدم التوزيع الاحتمالي المتصل لوصف المتغيرات العشوائية التي تأخذ قيمًا من مجموعة غير متناهية من القيم. هذه القيم يمكن أن تكون أي عدد حقيقي، بما في ذلك الأعداد الكسرية. يُستخدم هذا النوع من التوزيع في حالات مثل قياس الطول أو الوزن أو الوقت. مثال على التوزيع المتصل إذا قمنا بقياس الوقت الذي يستغرقه شخص ما لرمي العملة، فإن الوقت يمكن أن يكون أي قيمة حقيقية، مثل 1.5 ثانية أو 2.3 ثانية. هنا، يمكننا استخدام توزيع احتمالي متصل لوصف الوقت المستغرق. الفرق بين التوزيع المتقطع والمتصل يمكن تلخيص الفروق بين التوزيع الاحتمالي المتقطع والمتصل في النقاط التالية: 1. القيم الممكنة: - المتقطع: يأخذ قيمًا منفصلة ومعدودة (مثل عدد مرات ظهور "وجه" العملة). - المتصل: يأخذ قيمًا من مجموعة غير متناهية (مثل الوقت المستغرق لرمي العملة). 2. التمثيل الرياضي: - المتقطع: يُستخدم عادةً دالة احتمالية (مثل دالة الكتلة الاحتمالية). - المتصل: يُستخدم دالة كثافة احتمالية (مثل دالة الكثافة الاحتمالية). 3. التطبيقات: - المتقطع: يُستخدم في التجارب التي يمكن عدها (مثل عدد الزوار لموقع ويب). - المتصل: يُستخدم في القياسات المستمرة (مثل قياس درجات الحرارة). أنواع التوزيعات الاحتمالية توجد عدة أنواع من التوزيعات الاحتمالية، ومن أبرزها: 1. توزيع بواسون: يُستخدم لوصف عدد الأحداث التي تحدث في فترة زمنية معينة. 2. توزيع ذي الحدين: يُستخدم لوصف عدد النجاحات في عدد معين من التجارب المستقلة. 3. التوزيع الهندسي: يُستخدم لوصف عدد التجارب حتى حدوث النجاح الأول. 4. التوزيع الطبيعي: يُستخدم لوصف العديد من الظواهر الطبيعية، حيث تتجمع القيم حول المتوسط. 5. التوزيع الأسّي: يُستخدم لوصف الوقت بين الأحداث في عملية بواسون. 6. التوزيع الموحد: يُستخدم لوصف المتغيرات التي تكون لها نفس الاحتمالية في نطاق معين. 7. توزيع برنولي: يُستخدم لوصف تجربة ذات نتيجتين فقط (نجاح أو فشل). شرح نوع واحد لكل توزيع احتمالي متقطع ومنفصل توزيع بواسون تعريف توزيع بواسون توزيع بواسون هو توزيع احتمالي يُستخدم لوصف عدد الأحداث التي تحدث في فترة زمنية معينة، حيث تكون هذه الأحداث مستقلة عن بعضها البعض. يتميز هذا التوزيع بمعلمة واحدة، وهي متوسط عدد الأحداث في الفترة الزمنية المحددة.

هل تمثل العلاقة دالة؟

لفحص ما إذا كانت العلاقة (x - 3) + y² = 2 تمثل دالة أم لا، نحتاج أولاً إلى فهم مفهوم الدالة في الرياضيات. في الرياضيات، الدالة هي علاقة تربط كل عنصر من النطاق (مجموعة القيم المسموح بها) بعنصر واحد فقط من المدى (مجموعة القيم المستنتجة).

عند إعادة ترتيب العلاقة لتصبح y² = 2 - (x - 3) أو y² = 5 - x، نلاحظ أنه لا يمكن تمثيل y كدالة في x مباشرةً، حيث أن الحل للقيمة y يعتمد على جذرين مختلفين:

• y = √(5 - x)
• y = -√(5 - x)

هذا يعني أن هناك قيمتين محتملتين لـ y لكل قيمة من x، وبالتالي فإن العلاقة لا تمثل دالة لأن كل x مرتبط بأكثر من قيمة واحدة لـ y. لذا، لا يمكن اعتبار هذه العلاقة دالة في هذه الحالة.

تحويل العلاقة إلى دالة

لتحويل العلاقة (x - 3) + y² = 2 إلى دالة، يمكننا تقسيمها إلى دالتين منفصلتين لكل جزء من y. على سبيل المثال:

1. y = √(5 - x): هذه تمثل الجزء العلوي من الدالة.
2. y = -√(5 - x): هذه تمثل الجزء السفلي من الدالة.

في هذه الحالة، يجب أن نحدد النطاق والمدى لكل دالة. النطاق هنا يجب أن يكون 5 ≥ x، وذلك لأن القيم داخل الجذر التربيعي يجب أن تكون غير سالبة. أما بالنسبة للمدى:

• لدالة y = √(5 - x)، المدى هو 0 ≤ y ≤ √5.
• لدالة y = -√(5 - x)، المدى هو -√5 ≤ y ≤ 0.

y كدالة في x

إذا قمنا بتحديد y كدالة في x، فإننا نحصل على معادلتين كما ذكرنا سابقًا:

• الدالة الأولى: y = √(5 - x).
• الدالة الثانية: y = -√(5 - x).

الرسم البياني لهذه الدوال يظهر أن لكل قيمة من x في النطاق [0, 5]، هناك قيمتان مختلفتان لـ y (واحدة موجبة والأخرى سالبة). يوضح الرسم شكل القطع المكافئ، حيث يتقاطع مع المحور y عند (x = 3, y = 0).

x كدالة في y

يمكننا أيضًا إعادة ترتيب المعادلة لتحديد x كدالة في y. عند حل المعادلة (x - 3) + y² = 2 من أجل x، نحصل على:

x = 5 - y²

في هذه الحالة، يكون النطاق لـ y هو -√5 ≤ y ≤ √5، بينما يكون المدى لـ x هو x ≤ 5.

الرسم البياني لهذه الدالة يمثل شكلًا مكافئًا يمتد أفقيًا، ويتقاطع مع المحور x عند النقطة (x = 5, y = 0).

شرح ماذا تمثل النقط (4,1), (2,1), (3,0), (1,0)

كل من النقاط المذكورة تقع على منحنى العلاقة. دعونا نوضح كل نقطة:

• (4,1): عند x = 4، نجد أن y = 1، مما يعني أن النقطة تقع في الجزء الموجب من الدالة.
• (2,1): عند x = 2، نجد أن y = 1، وهي نقطة أخرى تقع في الجزء الموجب من الدالة.
• (3,0): عند x = 3، نجد أن y = 0، وهي نقطة تقاطع مع المحور x.
• (1,0): عند x = 1، نجد أن y = 0، وهي أيضًا نقطة تقاطع مع المحور x.

تقاطع العلاقة مع محاور الإحداثيات

لتحديد نقاط تقاطع العلاقة مع المحاور، نحتاج إلى تعيين y = 0 أو x = 0.

• عند y = 0: من المعادلة الأصلية، نحصل على (x - 3) + 0² = 2، وبالتالي x = 5. لذا، النقطة (5, 0) هي نقطة تقاطع مع المحور x.
• عند x = 0: من المعادلة الأصلية، نحصل على (0 - 3) + y² = 2، أي y² = 5، وبالتالي y = ±√5. إذن، النقاط (0, √5) و (0, -√5) هما نقاط التقاطع مع المحور y.

استخدام توزيع طبيعي في حياتنا اليومية يمكن استخدام التوزيع الطبيعي في العديد من المجالات، مثل قياس الطول أو الوزن. على سبيل المثال، إذا كان لدينا مجموعة من الأشخاص، يمكننا استخدام التوزيع الطبيعي لحساب احتمال أن يكون طول شخص بالغ معين ضمن نطاق معين. استخدام توزيع بواسون في حياتنا اليومية يمكن استخدام توزيع بواسون في العديد من التطبيقات اليومية. على سبيل المثال، يمكن استخدامه لحساب احتمال وصول عدد معين من العملاء إلى متجر خلال ساعة معينة. إذا كان متوسط عدد العملاء الذين يزورون المتجر في الساعة هو 5، يمكننا استخدام توزيع بواسون لحساب احتمال وصول 3 عملاء في ساعة معينة. توزيع طبيعي تعريف توزيع طبيعي التوزيع الطبيعي هو توزيع احتمالي يُستخدم لوصف العديد من الظواهر الطبيعية، حيث تتجمع القيم حول المتوسط. يتميز هذا التوزيع بشكل جرس متماثل، ويُستخدم في العديد من التطبيقات الإحصائية.

الخاتمة

العلاقة (x - 3) + y² = 2 تمثل علاقة رياضية لها مجموعة من الخصائص المثيرة للاهتمام. يمكن تحويل هذه العلاقة إلى دالتين منفصلتين، واحدة في الجزء الموجب والأخرى في الجزء السالب، مع تحديد النطاق والمدى لكل دالة. كما توضح التحليلات أن العلاقة تتقاطع مع المحاور عند نقاط محددة، مما يعزز فهمنا للمنحنى الذي تمثله. من خلال هذا التحليل الشامل، نستطيع تطبيق القواعد الرياضية لتحليل العلاقات والدوال بطرق مختلفة.

يُظهر الفرق بين التوزيع الاحتمالي المتقطع والمتصل أهمية فهم كيفية استخدام التوزيعات الاحتمالية في تحليل البيانات واتخاذ القرارات. من خلال معرفة الأنواع المختلفة من التوزيعات، يمكننا تطبيق هذه المفاهيم في حياتنا اليومية، سواء في الأعمال التجارية أو في الأبحاث العلمية. إن فهم التوزيعات الاحتمالية يساعدنا على تحليل البيانات بشكل أفضل واتخاذ قرارات مستندة إلى الأدلة.

الأسئلة الشائعة

1. هل تمثل العلاقة (x - 3) + y² = 2 دالة؟

لا، لأن كل قيمة من x تقترن بأكثر من قيمة لـ y. وهذا يتعارض مع تعريف الدالة.

2. كيف يمكن تحويل العلاقة إلى دالة؟

يمكن تحويل العلاقة إلى دالتين منفصلتين: y = √(5 - x) و y = -√(5 - x) مع تحديد النطاق والمدى لكل منهما.

3. ما هي نقاط تقاطع العلاقة مع المحاور؟

تقاطع العلاقة مع المحور x عند النقطة (5,0)، ومع المحور y عند النقاط (0, √5) و (0, -√5).

المراجع

• كتاب "الرياضيات الأساسية"، تأليف د. أحمد عواد.
• موقع "أكاديمية الرياضيات العربية"، قسم الدوال والعلاقات.
• دورة "تحليل الدوال"، مقدمة من منصة رواق التعليمية.

حورية، بوساحة. (2008). الإحصاء والاحتمالات. المعهد الوطني لتكوين مستخدمي التربية وتحسين مستواهم. وزارة التربية الوطنية. الجزائر. 2.فاستر كابيتال. (2023). الغوص في التوزيعات الاحتمالية: استخدام قاعدة الجمع. تم الاسترجاع من الرابط https://2u.pw/hKMdTAuf. 3. Moore, D. S., McCabe, G. P., & Craig, B. A. (2016). *Introduction to the Practice of Statistics*. W.H. Freeman. 4. Bluman, A. G. (2018). *Elementary Statistics: A Step by Step Approach*. McGraw-Hill Education.