احتمال إصابة المدخنين بمرض الرئة: حسابات إحصائية وتوقعات
جدول المحتويات
- المقدمة
- عدد الأشخاص المتوقع إصابتهم بمرض الرئة
- حساب الانحراف المعياري
- احتمال إصابة أكثر من 135 شخص بمرض الرئة
- احتمال أن يتراوح عدد المصابين بين 140 و165
- الخاتمة
- الأسئلة الشائعة
- المراجع
المقدمة
يعتبر مرض الرئة من أكثر الأمراض انتشاراً بين المدخنين، حيث أن التدخين يعد أحد الأسباب الرئيسية التي تؤدي إلى تدهور صحة الرئتين. في هذا المقال، سنستخدم بعض المفاهيم الإحصائية لحساب احتمالات إصابة المدخنين بمرض الرئة. لدينا معطيات بأن احتمال أن يصاب مدخن ما بمرض في الرئة هو 0.18، وتم فحص 1000 مدخن. سنقوم بحساب:
- عدد الأشخاص المتوقع أن يكونوا مصابين بمرض الرئة.
- الانحراف المعياري لعدد الأشخاص المصابين.
- احتمال أن نجد أكثر من 135 شخصًا مصابًا بمرض الرئة.
- احتمال أن يتراوح عدد الأشخاص المصابين بين 140 و165 شخصًا.
عدد الأشخاص المتوقع إصابتهم بمرض الرئة
المعادلة المستخدمة
لحساب عدد الأشخاص المتوقع إصابتهم بمرض الرئة، نستخدم التوقع الرياضي (القيمة المتوقعة) للتوزيع الثنائي، والذي يعطى بالصيغة:
\[ E(X) = n \cdot p \]
حيث:
- \( n \): عدد التجارب (عدد المدخنين).
- \( p \): احتمال الإصابة بمرض الرئة لكل مدخن.
تطبيق المعادلة على المعطيات
في هذه الحالة، لدينا:
- \( n = 1000 \) مدخن.
- \( p = 0.18 \) (احتمال إصابة مدخن بمرض الرئة).
إذًا، يمكن حساب عدد الأشخاص المتوقع إصابتهم بمرض الرئة كالتالي:
\[ E(X) = 1000 \cdot 0.18 = 180 \]
النتيجة
بالتالي، من المتوقع أن يكون عدد الأشخاص المصابين بمرض الرئة من بين 1000 مدخن هو 180 شخصًا.
حساب الانحراف المعياري
المعادلة المستخدمة
لحساب الانحراف المعياري للتوزيع الثنائي، نستخدم المعادلة التالية:
\[ \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} \]
تطبيق المعادلة على المعطيات
باستخدام نفس المعطيات السابقة:
- \( n = 1000 \) مدخن.
- \( p = 0.18 \).
نحسب الانحراف المعياري كما يلي:
\[ \sigma = \sqrt{1000 \cdot 0.18 \cdot (1 - 0.18)} = \sqrt{1000 \cdot 0.18 \cdot 0.82} = \sqrt{147.6} \approx 12.15 \]
النتيجة
الانحراف المعياري لعدد الأشخاص المصابين بمرض الرئة بين 1000 مدخن هو حوالي 12.15 شخصًا.
احتمال إصابة أكثر من 135 شخص بمرض الرئة
استخدام التوزيع الطبيعي التقريبي
عندما يكون \( n \) كبيرًا، يمكن استخدام التوزيع الطبيعي لتقريب الاحتمال الثنائي. يمكننا استخدام التوزيع الطبيعي المعياري لحساب احتمال أن يتجاوز عدد المصابين 135 شخصًا.
تحويل المتغير العشوائي إلى التوزيع الطبيعي
نحسب قيمة Z باستخدام الصيغة:
\[ Z = \frac{X - E(X)}{\sigma} \]
حيث:
- \( X \): عدد الأشخاص المطلوب حساب الاحتمال لهم (135 في هذه الحالة).
- \( E(X) = 180 \) هو العدد المتوقع للأشخاص المصابين.
- \( \sigma = 12.15 \) هو الانحراف المعياري.
إذًا:
\[ Z = \frac{135 - 180}{12.15} = \frac{-45}{12.15} \approx -3.7 \]
استخدام جدول التوزيع الطبيعي
باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري، نجد أن احتمال أن يكون Z أقل من -3.7 هو تقريبًا 0.0001. وبما أن السؤال يطلب احتمال أن يكون عدد المصابين أكثر من 135 شخصًا، فإننا نحسب:
\[ P(X > 135) = 1 - P(Z < -3.7) = 1 - 0.0001 = 0.9999 \]
النتيجة
احتمال أن نجد أكثر من 135 شخصًا مصابًا بمرض الرئة هو حوالي 0.9999 أو 99.99%.
احتمال أن يتراوح عدد المصابين بين 140 و165 شخص
تحويل الحدود إلى التوزيع الطبيعي
لحساب هذا الاحتمال، نحسب قيمة Z لكل من الحدين السفلي والعلوي:
- بالنسبة إلى \( X = 140 \): \[ Z = \frac{140 - 180}{12.15} = \frac{-40}{12.15} \approx -3.29 \]
- بالنسبة إلى \( X = 165 \): \[ Z = \frac{165 - 180}{12.15} = \frac{-15}{12.15} \approx -1.23 \]
استخدام جدول التوزيع الطبيعي
من جدول التوزيع الطبيعي، نجد:
- \( P(Z < -3.29) \approx 0.0005 \).
- \( P(Z < -1.23) \approx 0.1093 \).
إذًا، احتمال أن يتراوح عدد المصابين بين 140 و165 شخصًا هو:
\[ P(140 < X < 165) = P(Z < -1.23) - P(Z < -3.29) = 0.1093 - 0.0005 = 0.1088 \]
النتيجة
احتمال أن يتراوح عدد الأشخاص المصابين بمرض الرئة بين 140 و165 شخصًا هو حوالي 0.1088 أو 10.88%.
الخاتمة
باستخدام المفاهيم الإحصائية الأساسية، مثل التوزيع الثنائي والتوزيع الطبيعي التقريبي، تمكنا من حساب عدد الأشخاص المتوقع إصابتهم بمرض الرئة بين 1000 مدخن، بالإضافة إلى الانحراف المعياري والاحتمالات المرتبطة بعدد المصابين. هذه الحسابات توفر نظرة شاملة يمكن استخدامها في التحليل الصحي لتقدير نسب الإصابة بالأمراض في مجموعات سكانية كبيرة.
الأسئلة الشائعة
ما هو التوزيع الثنائي؟
التوزيع الثنائي هو توزيع احتمالي يستخدم لتمثيل التجارب التي تكون نتيجتها إما نجاح أو فشل. يتميز بمعاملين: عدد التجارب \( n \) واحتمال النجاح \( p \).
متى يمكن استخدام التوزيع الطبيعي بدلاً من التوزيع الثنائي؟
يمكن استخدام التوزيع الطبيعي لتقريب التوزيع الثنائي عندما يكون عدد التجارب كبيرًا (\( n \)) ويكون احتمال النجاح \( p \) ليس قريبًا جدًا من الصفر أو الواحد.
كيف يمكن حساب التوقع الرياضي للتوزيع الثنائي؟
التوقع الرياضي للتوزيع الثنائي يحسب باستخدام الصيغة \( E(X) = n \cdot p \)، حيث \( n \) هو عدد التجارب و\( p \) هو احتمال النجاح.