لهذا الواجب الكتابي: أجب عن الأسئلة الآتية مع مراعاة كتابة خطوات الحل كاملة بوضوح
يعتبر حل التمارين المتعلقة بالدوال والتحليل الرياضي أمراً هاماً في علم الرياضيات، خاصة في مراحل الدراسة المتقدمة. يتطلب هذا الواجب تحليل وتحديد النطاق والمدى ومعكوس الدوال، إلى جانب دراسة الرسومات البيانية وفهم انعكاسات النقاط. سيتم شرح خطوات الحل بشكل تفصيلي لتكون مرجعاً للطلاب والمعلمين لفهم كيفية التعامل مع الدوال ومعكوسها بشكل واضح ودقيق.
جدول المحتويات
- السؤال الأول: نطاق الدالة f ∘ g
- السؤال الثاني: معكوس الدالة f(x)=4 + √(x-2)
- السؤال الثالث: النطاق والمدى للدالة ومعكوسها
- الأسئلة الشائعة
- الخاتمة
- المراجع
السؤال الأول: نطاق الدالة f ∘ g
لتحديد نطاق الدالة المركبة f ∘ g حيث f(y) = 4 / (y - 2) وg(x) = 5 / (3x - 1)، نقوم أولاً بتحليل كل دالة على حدة:
- بدايةً، يجب معرفة أن الدالة g(x) = 5 / (3x - 1) تتضمن قسمة، ولذلك يكون لديها قيود حيث يجب ألا يساوي المقام صفر. ومن ثم:
تُعتبر الدوال من المفاهيم الأساسية في الرياضيات، حيث تلعب دورًا محوريًا في العديد من المجالات، بما في ذلك العلوم والهندسة والاقتصاد. في هذا المقال، سنستعرض مجموعة من الأسئلة المتعلقة بالدوال، بما في ذلك إيجاد النطاقات والمجالات، بالإضافة إلى إيجاد المعكوسات. سنقوم بتحليل دوال معينة، ونستخدم الآلة الحاسبة "Desmos" لرسم الدوال وتوضيح المفاهيم بشكل مرئي.
السؤال الأول: النطاق للدالة \( f \circ g \)
1.
تعريف الدوال لدينا الدالتين: - \( f(y) = \frac{4}{y - 2} \) - \( g(x) = \frac{5}{3x - 1} \) 2. إيجاد الدالة المركبة \( f \circ g \) لإيجاد الدالة المركبة \( f(g(x)) \)، نقوم بالتعويض عن \( g(x) \) في \( f(y) \): \[ f(g(x)) = f\left(\frac{5}{3x - 1}\right) = \frac{4}{\frac{5}{3x - 1} - 2} \] 3. تبسيط التعبير نقوم بتبسيط التعبير: \[ f\left(g(x)\right) = \frac{4}{\frac{5 - 2(3x - 1)}{3x - 1}} = \frac{4(3x - 1)}{5 - 6x + 2} = \frac{4(3x - 1)}{7 - 6x} \] 4. تحديد النطاق 4.1. النطاق للدالة \( g(x) \) الدالة \( g(x) \) غير معرفة عندما يكون المقام صفرًا: \[ 3x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \] لذا، النطاق للدالة \( g(x) \) هو \( x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{1}{3} \right\} \). 4.2. النطاق للدالة \( f(y) \) الدالة \( f(y) \) غير معرفة عندما يكون المقام صفرًا: \[ y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2 \] لذا، النطاق للدالة \( f(y) \) هو \( y \in \mathbb{R} \setminus \{2\} \). 4.3. النطاق للدالة المركبة \( f \circ g \) لإيجاد النطاق للدالة المركبة \( f \circ g \)، يجب أن نتجنب القيم التي تجعل \( g(x) = 2 \): \[ g(x) = 2 \Rightarrow \frac{5}{3x - 1} = 2 \Rightarrow 5 = 2(3x - 1) \Rightarrow 5 = 6x - 2 \Rightarrow 6x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{6} \] لذا، النطاق النهائي للدالة \( f \circ g \) هو: \[ x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{1}{3}, \frac{7}{6} \right\} \] 5. التعبير عن النطاق على صورة اتحاد الفترات النطاق يمكن التعبير عنه كالتالي: \[ (-\infty, \frac{1}{3}) \cup \left(\frac{1}{3}, \frac{7}{6}\right) \cup \left(\frac{7}{6}, \infty\right) \] السؤال الثاني: إيجاد معكوس الدالة \( f(x) = 4 + \sqrt{x - 2} \)
1. تعريف الدالة لإيجاد المعكوس، نبدأ بتعريف الدالة: \[ y = 4 + \sqrt{x - 2} \] 2. حل المعادلة لإيجاد المعكوس نقوم بتبديل \( x \) و \( y \): \[ x = 4 + \sqrt{y - 2} \] نقوم بعزل \( \sqrt{y - 2} \): \[ \sqrt{y - 2} = x - 4 \] ثم نربع الطرفين: \[ y - 2 = (x - 4)^2 \] نضيف 2 للطرفين: \[ y = (x - 4)^2 + 2 \] 3. المعكوس لذا، المعكوس هو: \[ f^{-1}(x) = (x - 4)^2 + 2 \] السؤال الثالث: النطاق والمدى للدالة ومعكوسها 1. إيجاد النطاق والمدى للدالة \( f(x) \) 1.1. النطاق الدالة \( f(x) = 4 + \sqrt{x - 2} \) تكون معرفة عندما يكون \( x - 2 \geq 0 \): \[ x \geq 2 \Rightarrow \text{النطاق} = [2, \infty) \] 1.2. المدى عند \( x = 2 \): \[ f(2) = 4 + 0 = 4 \] كلما زادت \( x \)، تزداد \( f(x) \). لذا، المدى هو: \[ \text{المدى} = [4, \infty) \] 2. إيجاد النطاق والمدى للمعكوس \( f^{-1}(x) \) 2.1. النطاق النطاق للمعكوس سيكون هو المدى للدالة الأصلية: \[ \text{النطاق} = [4, \infty) \] 2.2. المدى المدى للمعكوس سيكون هو النطاق للدالة الأصلية: \[ \text{المدى} = [2, \infty) \] 3. الرسم البياني
يمكن استخدام الآلة الحاسبة "Desmos" لرسم الدوال \( f \) و \( f^{-1} \) و \( g(x) = x \) على نفس المحاور. عند رسم الدوال، سنلاحظ أن الدالة \( f \) تنعكس على خط \( y = x \). 4. تعيين المحور الذي تنعكس عليه مجموعة النقاط عند النظر إلى النقاط: - \( (a, a) \) - \( (11, 7) \) - \( (7, 11) \) نرى أن النقاط \( (11, 7) \) و \( (7, 11) \) تعكس حول الخط \( y = x \).
- نحل المعادلة 3x - 1 ≠ 0 والتي تعطينا x ≠ 1/3.
- إذن، نطاق g(x) هو جميع الأعداد الحقيقية باستثناء x = 1/3.
- بالمثل، الدالة f(y) = 4 / (y - 2) تتطلب أن يكون y ≠ 2، حيث أن المقام لا يمكن أن يكون صفراً.
- بما أن الدالة المركبة f ∘ g تعتمد على مخرجات g(x) كمدخلات f(y)، يجب أن نضمن عدم تطابق مخرجات g(x) مع قيمة 2. لذلك نحسب متى يكون g(x) = 2:
- نحل 5 / (3x - 1) = 2، مما يؤدي إلى المعادلة 5 = 2(3x - 1).
- بالحل نجد أن x = 7/3؛ لذا، نضيف x = 7/3 إلى قائمة القيم المستثناة من النطاق.
- بالتالي، نطاق f ∘ g هو جميع الأعداد الحقيقية باستثناء x = 1/3 وx = 7/3، ويمكن كتابة ذلك على صورة اتحاد الفترات كما يلي:
نطاق f ∘ g = (-∞, 1/3) ∪ (1/3, 7/3) ∪ (7/3, ∞)
لمزيد من التوضيح، يمكنك استخراج الرسم البياني للدوال f، g، وf ∘ g باستخدام الآلة الحاسبة عبر الرابط التالي: www.desmos.com/calculator.
السؤال الثاني: معكوس الدالة f(x)=4 + √(x-2)
لإيجاد معكوس الدالة f(x) = 4 + √(x - 2)، نتبع الخطوات التالية:
- نبدأ بتعويض y مكان f(x) لنحصل على y = 4 + √(x - 2).
- نطرح 4 من الطرفين: y - 4 = √(x - 2).
- نربع الطرفين للتخلص من الجذر التربيعي: (y - 4)² = x - 2.
- نضيف 2 للطرفين للحصول على x: x = (y - 4)² + 2.
بالتالي، معكوس الدالة هو f⁻¹(y) = (y - 4)² + 2.
السؤال الثالث: النطاق والمدى للدالة ومعكوسها
نحدد الآن نطاق ومدى الدالة f(x) = 4 + √(x - 2) ومعكوسها، ونوضح كيفية رسمهما على نفس المحور.
أولاً: نطاق ومدى الدالة f(x) = 4 + √(x - 2)
- للدالة f(x) = 4 + √(x - 2) يجب أن يكون x ≥ 2 لأن الدالة الجذرية غير معرفة عندما يكون x أقل من 2.
- إذن، نطاق الدالة [2, ∞).
- المدى هو جميع القيم الناتجة، ونظراً لأن √(x - 2) ≥ 0 فإن f(x) ≥ 4؛ لذا المدى هو [4, ∞).
ثانياً: نطاق ومدى معكوس الدالة
- بما أن معكوس الدالة هو f⁻¹(y) = (y - 4)² + 2، فإن نطاق المعكوس هو مدى الدالة الأصلية: [4, ∞).
- ومدى المعكوس هو نطاق الدالة الأصلية: [2, ∞).
يمكنك استخراج الرسم البياني للدالة ومعكوسها باستخدام الآلة الحاسبة البيانية عبر الرابط التالي: www.desmos.com/calculator.
تحديد محور الانعكاس للنقاط
بناءً على المعطيات، يتم انعكاس النقاط حول المحور y = x حيث تتبدل القيم (a, a) و(11, 7) و(7, 11) عند الانعكاس على هذا المحور.
الأسئلة الشائعة
- ما هو النطاق والمدى للدالة؟
- النطاق هو جميع القيم التي يمكن للدالة استقبالها كمدخلات، بينما المدى هو القيم التي تنتجها الدالة كمخرجات.
- كيف يمكن إيجاد معكوس الدالة؟
- بإجراء تبديل بين x وy في معادلة الدالة وحل x بالنسبة لـy.
الخاتمة
يغطي هذا المقال مسائل رياضية متقدمة تتعلق بالنطاق والمدى ومعكوس الدوال، ويقدم خطوات الحل بشكل مفصل وواضح. يعد هذا المحتوى مرجعاً للطلاب والمعلمين لفهم طرق حل المسائل الرياضية المتقدمة.
في هذا المقال، قمنا بتحليل دوال معينة وإيجاد النطاقات والمجالات والمعكوسات. استخدمنا الآلة الحاسبة "Desmos" لرسم الدوال وتوضيح المفاهيم بشكل مرئي. كما استكشفنا كيفية تحديد المحاور التي تنعكس عليها النقاط. هذه المفاهيم أساسية في الرياضيات وتساعد في فهم العلاقات الرياضية بشكل أفضل.المراجع
- كتاب "مقدمة في الرياضيات التحليلية" - د. محمد عبد الله
- موقع Desmos للرسم البياني: desmos.com
- كتاب "أساسيات الجبر" - دار الكتب العلمية للنشر
لارسون، ر.، وإدواردز، ب. ه. (2013). *حساب التفاضل والتكامل*. تعلم سينجاج
. توماس، ج. ب.، وفيني، ر. ل. (2011). *حساب التفاضل والتكامل والهندسة التحليلية*. أديسون ويسلي.
أنطون، هـ.، وبيفينز، ي.، أوديفيس، س. (2013). *حساب التفاضل والتكامل*. وايلي.