الواجب الكتابي - نطاق الدالة وحل مسائل التكلفة بالدولار
جدول المحتويات
- مقدمة
- 1. اوجد نطاق الدالة f(x) = √(x-6) / √(x-4)
- 2. رسم دالة متقطعة مع النطاق على صورة فترات
- 3. حساب التكلفة لإنتاج المنتجات باستخدام الدالة C(x) = 10x + 500
- الخاتمة
- الأسئلة الشائعة
- المراجع
مقدمة
يُعد الواجب الكتابي في الرياضيات وسيلة فعالة لتعزيز فهم الطلاب للمفاهيم الرياضية. في هذا المقال، سنستعرض كيفية حل الواجب الكتابي الذي يشمل أسئلة تتعلق بنطاق الدوال الرياضية، رسم دالة متقطعة، وحساب التكلفة لإنتاج منتجات باستخدام دالة التكلفة. سنقوم بتوضيح خطوات الحل بالتفصيل، مع تقديم الرسوم البيانية والنطاقات التي تساعد في تبسيط الفهم. هذا المقال موجه للطلاب الذين يرغبون في تعزيز مهاراتهم في حل المسائل الرياضية وفهم أعمق للدوال ونطاقاتها.
تحليل الدوال الرياضية: نطاق الدالة، الرسوم البيانية، والتكاليف تعتبر الدوال الرياضية من الأدوات الأساسية في علم الرياضيات، حيث تُستخدم لوصف العلاقات بين المتغيرات. في هذا المقال، سنقوم بتحليل دالة محددة لإيجاد نطاقها، وسنقدم رسمًا بيانيًا لدالة متقطعة، بالإضافة إلى دراسة تكلفة إنتاج منتج معين. سنقوم بالإجابة على الأسئلة المطروحة خطوة بخطوة وبوضوح. السؤال 1: إيجاد نطاق الدالة الدالة المعطاة ننظر إلى الدالة التالية: \[ f(x) = \frac{\sqrt{x-6}}{\sqrt{x-4}} \] خطوات الحل 1. *تحديد الشروط:* - يجب أن تكون الجذر التربيعي في البسط \( \sqrt{x-6} \) غير سالب، مما يعني: \[ x - 6 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 6 \] - يجب أن تكون الجذر التربيعي في المقام \( \sqrt{x-4} \) غير سالب وأيضًا غير مساوٍ للصفر، مما يعني: \[ x - 4 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 4 \] 2. *جمع الشروط:* - من الشرطين السابقين، نجد أن الشرط الأكثر تقييدًا هو \( x \geq 6 \)، حيث أن \( x = 6 \) هو أيضًا أكبر من 4. 3. نطاق الدالة: - إذًا، نطاق الدالة هو: \[ [6, \infty) \] السؤال 2: رسم دالة متقطعة اختيار الدالة سنختار الدالة المتقطعة التالية: \[ y = \begin{cases} x^2 & \text{إذا كان } x < 1 \\ 3x - 2 & \text{إذا كان } x \geq 1 \end{cases} \] رسم الدالة لرسم هذه الدالة باستخدام آلة حاسبة مثل Desmos، يمكنكم إدخال المعادلات كما يلي: 1. *الدالة الأولى:* \( y = x^2 \) (عندما \( x < 1 \)) 2. *الدالة الثانية:* \( y = 3x - 2 \) (عندما \( x \geq 1 \)) النطاق - نطاق الدالة: - الدالة \( y = x^2 \) تأخذ قيمًا من \( (-\infty, 1) \) حيث أن \( x \) يمكن أن يتجه نحو سالب اللانهاية. - الدالة \( y = 3x - 2 \) تأخذ قيمًا من \( [1, \infty) \). - إذًا، نطاق الدالة الكلي هو: \[ (-\infty, \infty) \] السؤال 3: حساب التكلفة الدالة المعطاة التكلفة بالدولار لإنشاء أي منتج هي: \[ C(x) = 10x + 500 \] أ. حساب التكلفة عند عدم إنتاج أي منتج عندما \( x = 0 \): \[ C(0) = 10(0) + 500 = 500 \] ب. حساب التكلفة إذا تم إنتاج 25 عنصرًا عندما \( x = 25 \): \[ C(25) = 10(25) + 500 = 250 + 500 = 750 \]1. اوجد نطاق الدالة f(x) = √(x-6) / √(x-4)
لحساب نطاق الدالة f(x) = √(x-6) / √(x-4)، يجب علينا أولاً فهم القيود التي تفرضها الجذور التربيعية. الجذر التربيعي لأي عدد يجب أن يكون غير سالب، لذلك يجب أن تكون المقادير داخل الجذور موجبة أو تساوي الصفر.
خطوات الحل
- بالنسبة للبسط: √(x-6) يجب أن يكون غير سالب. إذن:
- x - 6 ≥ 0
- x ≥ 6
- بالنسبة للمقام: √(x-4) يجب أن يكون غير سالب وغير مساوي للصفر لأن القسمة على الصفر غير معرفة. إذن:
- x - 4 > 0
- x > 4
الآن نجد أن الشرطين يجب أن يتحققا معًا. ومن هنا، نجد أن:
- للبسط: x ≥ 6
- للمقام: x > 4
إذن نطاق الدالة هو [6, ∞)، لأن هذا هو الجزء الذي يتحقق فيه كلا الشرطين.
2. رسم دالة متقطعة مع النطاق على صورة فترات
في هذا الجزء، سنقوم برسم دالة متقطعة مع تحديد النطاق على شكل فترات. يمكنك استخدام الأدوات الإلكترونية مثل Desmos Calculator للحصول على الرسوم البيانية بسهولة.
اختيار دالة متقطعة
سنقوم باختيار الدالة التالية:
- f(x) = 3 إذا كان x في الفترة [1, 2]
- f(x) = x² إذا كان x في الفترة (2, 3]
النطاق
النطاق للدالة السابقة هو:
- لـ f(x) = 3، النطاق هو [1, 2]
- لـ f(x) = x²، النطاق هو (2, 3]
الرسم البياني
عند رسم هذه الدالة، سنلاحظ أن الدالة تكون متقطعة في النقطة x = 2، حيث أن الدالة تأخذ قيمة ثابتة f(x) = 3 في الفترة [1, 2]، ثم تأخذ شكل منحنى تربيعي في الفترة (2, 3].
3. حساب التكلفة لإنتاج المنتجات باستخدام الدالة C(x) = 10x + 500
الدالة المعطاة لحساب التكلفة هي: C(x) = 10x + 500، حيث أن x يمثل عدد الوحدات المنتجة، وC(x) يمثل التكلفة بالدولار لإنتاج هذه الوحدات.
أ. احسب التكلفة علماً بانه لم يتم إنتاج أي منتج
لحساب التكلفة عندما يكون x = 0، نستخدم المعادلة:
- C(0) = 10(0) + 500 = 500 دولار
إذن التكلفة الثابتة لإنشاء المنتج، حتى دون إنتاج أي وحدة، هي 500 دولار.
ب. احسب التكلفة إذا تم إنتاج 25 وحدة
لحساب التكلفة عندما يكون x = 25:
- C(25) = 10(25) + 500 = 250 + 500 = 750 دولار
إذن التكلفة لإنتاج 25 وحدة هي 750 دولار.
ج. إذا كانت التكلفة القصوى المسموحة هي 1500$، احسب النطاق والمدى للدالة
إذا كانت التكلفة القصوى المسموحة هي 1500 دولار، نحل المعادلة التالية لحساب الحد الأقصى لعدد الوحدات المنتجة:
- 1500 = 10x + 500
- 1500 - 500 = 10x
- 1000 = 10x
- x = 100
إذن الحد الأقصى لعدد الوحدات المنتجة هو 100 وحدة.
الآن، لنطاق الدالة، نجد أن x يمكن أن يأخذ القيم من 0 إلى 100. إذن النطاق هو:
- النطاق: [0, 100]
أما المدى (C(x)) فهو يمثل التكلفة، وهي تبدأ من 500 دولار (عند x = 0) وتصل إلى 1500 دولار (عند x = 100). إذن المدى هو:
- المدى: [500, 1500]
الخاتمة
في هذا المقال، قمنا بحل مجموعة من الأسئلة المتعلقة بالواجب الكتابي، بدءًا من إيجاد نطاق دالة معقدة تتضمن جذور تربيعية، مرورًا برسم دالة متقطعة باستخدام Desmos Calculator، وانتهاءً بحساب التكلفة لإنتاج المنتجات باستخدام دالة خطية. تعرفنا أيضًا على كيفية حساب النطاق والمدى لكل من الدوال المختلفة، بما في ذلك التكلفة. من خلال هذا النهج الشامل، نستطيع تطوير فهم أفضل للدوال الرياضية وتطبيقها في حل المشكلات اليومية.
من خلال تحليلنا للدالة وتطبيقات التكلفة، نستنتج أن الرياضيات توفر لنا أدوات قوية لفهم العلاقات بين المتغيرات. لقد قمنا بإيجاد نطاق الدالة المعطاة، ورسمنا دالة متقطعة، وحللنا تكلفة إنتاج منتج. هذه العمليات تعكس أهمية الرياضيات في مختلف المجالات، سواء في الاقتصاد أو الهندسة أو العلوم.الأسئلة الشائعة
1. كيف أجد نطاق الدالة التي تحتوي على جذور تربيعية؟
لحساب نطاق الدالة التي تحتوي على جذور تربيعية، يجب عليك التأكد من أن القيم داخل الجذور تكون غير سالبة. قم بحل المتباينات الناتجة لتحديد النطاق المسموح به.
2. كيف يمكنني رسم دالة متقطعة باستخدام Desmos؟
يمكنك استخدام Desmos Calculator لإدخال الدوال المختلفة ورسمها بسهولة. كل ما عليك فعله هو إدخال المعادلات المناسبة وتحديد الفترات إذا كانت الدالة متقطعة.
3. كيف يمكنني حساب التكلفة باستخدام دالة خطية؟
لحساب التكلفة باستخدام دالة خطية مثل C(x) = 10x + 500، كل ما عليك فعله هو إدخال قيمة x (عدد الوحدات المنتجة) في المعادلة وحلها لإيجاد التكلفة الإجمالية.
المراجع
- كتاب "الرياضيات المتقدمة"، تأليف د. محمد الشافعي.
- موقع "Desmos" لرسم الدوال الرياضية https://www.desmos.com/calculator
- مقالة "كيفية حساب نطاق الدوال"، موقع الأكاديمية التعليمية العربية.