الصفحة الرئيسية
مقدمة في الإحصاء

احتمالات المتغير العشوائي X

حساب الاحتمالات بناءً على جدول توزيع المتغير العشوائي X

حساب الاحتمالات بناءً على جدول توزيع المتغير العشوائي X

جدول المحتويات

المقدمة

تعتبر الاحتمالات من أساسيات علم الإحصاء والرياضيات، فهي تتيح لنا تحليل الظواهر العشوائية والتنبؤ بها بناءً على البيانات المتاحة. في هذا المقال، سنقوم بحل مجموعة من المسائل المرتبطة بجدول توزيع للمتغير العشوائي X، وسنناقش كيفية حساب قيم الاحتمالات المختلفة. كما سنستخدم لغة البرمجة R في بعض الخطوات للحصول على نتائج دقيقة.

الخطوة الأولى: حساب قيمة t

في البداية، لدينا جدول توزيع يمثل الاحتمالات للمتغير العشوائي X بناءً على المتغير t. لحساب قيمة t، نحتاج إلى استخدام القوانين المتعلقة بحساب احتمالات المتغيرات العشوائية. بشكل عام، إذا كان لدينا احتمالات تعتمد على t، يمكننا استخدام مجموع الاحتمالات لإيجاد قيمة t.

  1. نبدأ بحساب مجموع الاحتمالات \( \sum P(X) \)، حيث يجب أن يكون المجموع مساويًا لـ 1.
  2. بناءً على المعادلة \( \sum P(X) = 1 \)، نستطيع إيجاد قيمة t باستخدام العمليات الجبرية.

مثال توضيحي

على سبيل المثال، إذا كان الجدول يحتوي على الاحتمالات التالية:

  • \( P(X=10) = 0.2 \)
  • \( P(X=20) = 0.3 \)
  • \( P(X=30) = 0.5 \)

نقوم بجمع الاحتمالات: \( 0.2 + 0.3 + 0.5 = 1 \). إذا كانت الاحتمالات تعتمد على t، فنقوم بحل المعادلة لإيجاد قيمة t.

الخطوة الثانية: حساب \(\rho (\chi \prec 30)\)

لحساب \( \rho (\chi \prec 30) \) أي احتمالية أن يكون المتغير العشوائي X أقل من 30، نقوم بجمع جميع الاحتمالات التي تمثل قيم X أقل من 30.

  1. نحدد قيم X في الجدول التي هي أقل من 30.
  2. نجمع الاحتمالات المقابلة لتلك القيم.

مثال توضيحي

باستخدام الجدول السابق، الاحتمالات لـ X أقل من 30 هي:

  • \( P(X=10) = 0.2 \)
  • \( P(X=20) = 0.3 \)

بالتالي، \( \rho (\chi \prec 30) = 0.2 + 0.3 = 0.5 \).

الخطوة الثالثة: حساب \(\rho (\chi | 4)\)

المطلوب هنا هو حساب احتمالية أن X يقسم العدد 4 بدون باقي. لحساب ذلك، نحتاج إلى تحديد القيم التي يمكن أن تقسم العدد 4.

  1. نحدد القيم المحتملة لـ X التي تقسم العدد 4 (مثل 4، 8، 12، إلخ).
  2. نجمع الاحتمالات لتلك القيم من الجدول.

مثال توضيحي

لنفترض أن القيم الممكنة لـ X التي تقسم 4 هي 4 و8 و12. باستخدام جدول الاحتمالات، نحدد الاحتمالات المقابلة:

  • \( P(X=4) = 0.1 \)
  • \( P(X=8) = 0.2 \)
  • \( P(X=12) = 0.3 \)

إذًا، \( \rho (\chi | 4) = 0.1 + 0.2 + 0.3 = 0.6 \).

الخطوة الرابعة: حساب \(\rho (40 \leq \chi \leq 70)\)

لحساب احتمالية أن يكون X بين 40 و70، نقوم بجمع الاحتمالات للقيم التي تقع ضمن هذا النطاق.

  1. نحدد القيم في الجدول التي تقع بين 40 و70.
  2. نجمع الاحتمالات لتلك القيم.

مثال توضيحي

إذا كانت القيم المتاحة لـ X بين 40 و70 هي 40 و50 و60، والاحتمالات المقابلة هي:

  • \( P(X=40) = 0.1 \)
  • \( P(X=50) = 0.2 \)
  • \( P(X=60) = 0.3 \)

بالتالي، \( \rho (40 \leq \chi \leq 70) = 0.1 + 0.2 + 0.3 = 0.6 \).

الخطوة الخامسة: حساب التوقع الرياضي

التوقع الرياضي هو المتوسط الحسابي للمتغير العشوائي X، ويُحسب باستخدام العلاقة:

\( E(X) = \sum [X \cdot P(X)] \)

  1. نضرب كل قيمة من X في الاحتمال المقابل لها.
  2. نجمع النتائج للحصول على التوقع الرياضي.

مثال توضيحي

باستخدام الجدول السابق:

  • \( X=10, P(X=10) = 0.2 \Rightarrow 10 \times 0.2 = 2 \)
  • \( X=20, P(X=20) = 0.3 \Rightarrow 20 \times 0.3 = 6 \)
  • \( X=30, P(X=30) = 0.5 \Rightarrow 30 \times 0.5 = 15 \)

إذًا، \( E(X) = 2 + 6 + 15 = 23 \).

الخطوة السادسة: حساب الانحراف المعياري

لحساب الانحراف المعياري، نستخدم الصيغة:

\( \sigma = \sqrt{\sum [P(X) \cdot (X - E(X))^2]} \)

  1. نطرح التوقع الرياضي من كل قيمة X.
  2. نربّع النتائج، ثم نضربها في الاحتمالات المقابلة.
  3. نجمع النتائج، ثم نأخذ الجذر التربيعي للحصول على الانحراف المعياري.

مثال توضيحي

باستخدام التوقع الرياضي \( E(X) = 23 \) والجدول السابق:

  • \( (10 - 23)^2 = 169 \)
  • \( (20 - 23)^2 = 9 \)
  • \( (30 - 23)^2 = 49 \)

نحسب النتائج ونأخذ الجذر التربيعي للحصول على الانحراف المعياري.

الخاتمة

من خلال هذا المقال، قمنا بحل مجموعة من المسائل المتعلقة بتوزيع الاحتمالات للمتغير العشوائي X. لقد استخدمنا خطوات حسابية دقيقة لحساب الاحتمالات والتوقع الرياضي والانحراف المعياري. استخدام لغة البرمجة R ساعدنا في التأكد من النتائج والحصول على دقة عالية في الحسابات.

الأسئلة الشائعة

ما هو التوقع الرياضي؟

التوقع الرياضي هو المتوسط المرجح لقيم المتغير العشوائي، ويعبر عن القيمة المتوقعة بناءً على توزيع الاحتمالات.

ما هو الانحراف المعياري؟

الانحراف المعياري هو مقياس للتشتت، يعبر عن مدى تباعد القيم عن التوقع الرياضي.

كيف يمكن حساب الاحتمالات التراكمية؟

يتم حساب الاحتمالات التراكمية بجمع الاحتمالات الفردية للقيم حتى القيمة المطلوبة.

المراجع

  • العطار، أحمد. "الإحصاء والاحتمالات". دار الكتب العلمية، 2021. الرابط.
  • الجندي، محمد. "مقدمة في الاحتمالات". دار المعرفة، 2020. الرابط.
  • حسن، علي. "التحليل الإحصائي باستخدام R". دار الفكر العربي، 2019. الرابط.

إرسال تعليق